专题复习_隐形圆问题

发布时间:2022-07-02 11:40:03

下面是小编为大家整理的专题复习_隐形圆问题,供大家参考。

专题复习_隐形圆问题

　1 2

　“隐形圆〞问题省通州高级中学

　一、问题概述

　省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆〔或圆的方程〕，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆〞问题．二、求解策略

　如何发现隐形圆〔或圆的方程〕是关键，常见的有以下策略．

　策略一利用圆的定义〔到定点的距离等于定长的点的轨迹〕确定隐形圆例 1 1〔1〕如果圆( x －2 a ) 2 ＋( y － a －3) 2 ＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，那么实数 a 的取

　值围是．

　 6  a 0

　5 略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与圆相交求解．

　〔2〕〔2016 年二模〕圆 O ：

　x 2 ＋ y 2 ＝1，圆 M ：( x － a ) 2 ＋( y － a ＋4) 2 ＝1．假设圆 M 上存在点P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ， B ，使得∠ APB ＝60°，那么 a 的取值围为．解：由题意得 OP 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共

　点，因此有 2  1  OM 2  1  1≤ a 2 ( a 4) 2 ≤9 2 

　2 ≤ a ≤ 2 2 ．

　〔3〕〔2017 年北四市一模〕 A 、 B 是圆 C : x 2  y 2  1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆

　C : ( x 3〕2  ( y  4) 2

　 1 上的动点，那么 PA  PB 的取值围是． [7,13]

　略解：取 AB 的中点 M ，那么C 1 M = 2

　，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2

　的圆上，且

　PA  PB  2 PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．

　〔4〕假设对任意   R R ，直线 l ：

　x cos  ＋ y sin  ＝2sin(  ＋  )＋4 与圆 C ：( x － m ) 2 ＋( y －3 m ) 2

　＝1 均无公共点，那么实数 m 的取值围是． ( 1 , 5 )

　略解：直线 l 的方程为：( x -1)cos  ＋( y -3)sin  ＝4， M (1,

　3)到 l 距离为 4，所以 l 是

　以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 含．

　 . word.zl-

　O  2 ，  注：直线 l ：( x - x 0 )cos  ＋( y - y 0 )sin  ＝ R 为圆 M ：( x  x ) 2 ( x  y ) 2  R 2 的切线系．例 2 2〔2017 年市一模〕在平面直角坐标系 xOy 中， B ， C 为圆 x 2  y 2 4 上两点，点 A (1，1)，且AB ⊥ AC ，那么线段 BC 的长的取值围为．解：法一〔标解〕：设 BC 的中点为 M  x , y  ，

　因为 OB 2

　  OM 2  BM 2  OM 2  AM 2 ， y

　所以 4 x2  y 2   x  1  2   y  1  2 ， B M

　2 2

　化简得  x  1 

　  y  1 

　 3 ， A

　 2 

　2  2

　 x

　所以点 M 的轨迹是以  1

　1  为圆心， 3 2 为半径的

　

　  6

　圆，所以 AM 的取值围是 2

　 2 ， 6

　 2  ，所

　2 2  例 2 2

　 

　以 BC 的取值围是  6 

　2 ， 6 

　2  ．

　 

　法二：以 AB 、 AC 为邻边作矩形 BA ，那么 BC ＝ AN ，由矩形的几何性质〔矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等〕，有 OB 2  OC 2

　 OA 2  ON 2 ，所以 ON ＝6，

　故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值围是  6 

　2 ， 6 

　2  ．

　

　变式 1 1

　〔2014 年高三期末卷〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O : : x 2  y 2  16，点

　P ( (1, ,2) )， M 、 N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM  PN 0，假设 PQ  PM  PN ，那么 PQ的

　最小值为．3 35 y

　2 2 22

　变式 2 2

　圆 C 1 ：

　x  y

　9，圆 C 2 ：

　x  y

　4，定点 A

　 P (1,0)，动点 A , B 分别在圆 C 1 和圆 C 2 上，满足 APB 90，

　那么线段 AB 的取值围． [2 3  1,2 3  1]

　O P x

　变式 3 3

　向量 a a 、 b b 、 c 满足 a a 3, b b 2, c c  1, ( a a  c c )  ( b b  c c )0，那么 a a  b b 围

　 . word.zl-

　为． [2 3  1,2 3  1]

　 . word.zl-

　策略二动点 P 对两定点 A 、 B 角是 90 0 〔 k

　PA  k PB

　1，或 PA  PB 0〕确定隐形圆

　例 3 3〔1〕〔2014 年卷〕圆 C ：( x 3) 2  ( y 4) 2  1 和两点 A ( m ,0)， B ( m ,0)，

　假设圆上存在点 P ，使得 APB 90，那么 m 的取值围是．  4,6 

　略解：由以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．

　〔2〕〔海安 2016 届高三上期末〕在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (−1，0)

　，

　Q (2 ，1)

　，直线 l ：

　ax  by  c 0 其中实数 a ， b ， c

　成等差数列，假设点 P 在直线 l

　上的射影为 H ，那么线段 QH 的取值围是． [

　2, 3 2]

　解：由题意，圆心 C (1，－2)在直线 ax ＋ by ＋ c ＝0 上，可得 a －2 b ＋ c ＝0，即 c ＝2 b － a．直线 l ：(2 a － b ) x ＋(2 b － c ) y ＋(2 c － a )＝0，即 a (2 x ＋ y －3)＋ b (4－ x )＝0，

　2x  y 30,

　由 

　 4 x 0

　，可得 x ＝4， y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，

　由题意， H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A (5，2)，方程为( x －5) 2＋(y －2) 2 ＝50，

　∵| CA|＝4

　2，∴ CH 最小为 5

　2－4

　2＝2， CH 最大为 4

　2＋5

　2＝9

　2，

　∴线段 CH 长度的取值围是[

　2，9

　2]．

　〔3〕〔通州区 2017 届高三下开学初检测〕设 m R R ，直线 l 1 ：

　x  my 0 与直线

　 l 2 ：

　mx  y 2 m 40 交于点 P ( x 0 , y 0 )，那么 x 0

　2  y 2  2 x 0

　的取值围

　是．[12  410,12  410]

　略解：

　l 1 过定点 O (0，0)， l 2 过定点 A (2，-4)，那么 P 在以 OA 为直径的圆上〔除去一点〕，变式〔2017 年二模〕在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 ：

　kx － y ＋2＝0 与直线 l 2 ：

　x ＋ ky －2＝0 相交于点 P ，那么当实数 k 变化时，点 P 到直线 x － y －4＝0 的距

　离的最大值为．3 2

　策略三两定点 A 、 B ，动点 P 满足 PA  PB   确定隐形圆例 4 4〔1〕〔2017 年密卷 3〕点 A (2, 3)，点 B (6,  3)

　，点 P 在直线 3 x  4 y 30 上，

　假设满足等式 AP  BP 2  0 的点 P 有两个，那么实数  的取值围是．

　解：设 P 〔 x ， y 〕，那么 AP  ( x  2, y  3)， BP  ( x  6, y  3)，

　根据 AP  BP  2   0 ，有  x  4 2  y 2  13  2     13  .由题意

　2 

　 

　 . word.zl-

　心，圆：

　 x  4 2  y 2  13  2     13  圆与直线3 x  4 y  3  0 相交，

　2 

　

　 344  03

　圆心到直线的距离 d  3 

　3 2 4 2

　13  2  ，所以   2 .

　〔2〕〔2016 年三模〕线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA  CB   〔为常数〕，

　且点 C 总不在以点 B 为圆1

　为半径的圆，那么负数 的最大值是.  3

　略解：动点 C 满足方程 x 2  y 2    1.

　策略四两定点 A 、 B ，动点 P 满足 PA 2  PB 2 是定值确定隐形圆

　例 5 5〔1〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C ：( x － a ) 2 ＋( y － a ＋2) 2 ＝1，点 A (0，2)，假设圆 C上存在点 M ，满足 MA 2 ＋ MO 2 ＝10，那么实数 a 的取值围是．[0，3] 略解：

　M 满足的方程为 x 2  ( y 1) 2 4，转化为两圆有公共点

　〔2〕〔2017 年、一模〕在  ABC 中， A ， B ， C 所对的边分别为 a , b , c ，假设

　a 2  b 2 2 c 2

　8，那么  ABC 面积的最大值为． 2 5

　5 解：以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴，建系.

　设 A ( c ,0)， B ( c ,0)， C ( x , y )，那么由 a 2  b 2 2 c 2

　8 ，

　得( x  c ) 2  y 2 ( x  c ) y 2 2 c 2 8，即 x 2  y 2 4 5 c 2 ，

　所以点 C 在此圆上， S ≤ c r  c

　4 5 c 2

　 1

　(4 5 c 2 ) 5 c 2 ≤ 2 5

　224

　54 4 5

　策略五两定点 A 、 B ，动点 P 满足PA   ( (   0, ,   1) )确定隐形圆〔阿波罗尼斯圆〕

　例 6 6〔1〕

　略解：点 P 满足圆的方程为 x 2  y 2  4 ，转化到直线与圆相交.

　〔2〕〔2016 届一模〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O ：

　x 2 ＋ y 2 ＝1，

　O 1 ：( x －4) 2 ＋ y 2 ＝4，动点 P 在直线 x 

　3 y  b 0 上，过点 P 作圆 O ， O 1 的两条切线，

　 . word.zl-

　y 2 

　 3 切点分别为 A ， B ，假设满足 PB 2 PA 的点 P 有且仅有两个，那么 b 的取值围

　．  － 20 ,4 

　3 

　 

　例 7 7〔2017 年二模〕一缉私艇巡航至距领海边界限 l 〔一条南北方向的直线〕3.8 海里的 A处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．〔1〕假设走私船沿正向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海拦截

　成功；〔参考数据：sin17° 

　3 ，33 5.7446〕

　〔2〕问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海成功拦截？并说明理由．

　北 l

　领海公海 B

　 30°

　解：〔1〕略 (例 7)

　〔2〕如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．

　那么 B  2 ，2 3  ，设缉私艇在 P ( x ， y )处〔缉私艇恰好截住走私船的位置〕与走私

　船相遇，那么PA 3，即

　x 2  y 2

　 3． l

　PB ( x 2) 2   y 2 3 

　领海公海整理得， 

　9 

　3  9 22 x 4  y 4  4 ， B

　所以点 P ( x ， y )的轨迹是以点9 ， 9

　3 为圆心，

　4 4

　60 2为半径的圆．

　A x

　图乙因为圆心  9 ， 9

　3  到领海边界限 l ：

　x 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径3 ，

　4 42

　所以缉私艇能在领海截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆例 8 8

　〔1〕 a , , b , , c 分别为  ABC 的三个角 A , , B , , C 的对边， a 2 ，

　( a + b )(sin A -sin B )=( c - b )sin C 那么  ABC 面积的最大值为．3

　 . word.zl-

　略解：cos∠ A ＝ 1 ，∠ A ＝60°，设  ABC 的外接圆的圆心为 O ，外接圆的半径为2 3 ，那么

　2 3 O 到 BC 的距离为3 ，那么边BC 上的高 h 的最大值为3 + 2 3 =

　3，那么面积的最大值

　3 3 3

　为 3．〔2〕〔2017 年一模〕在△ ABC 中，∠ C ＝45 o ， O 是△ ABC 的外心，假设 OC  mOA  nOB ( m ，

　n ∈R R)，那么 m ＋ n 的取值围是．[ 2,1)

　略解：∠ AOB ＝2∠ C ＝90°，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上〔在优弧 AB 上〕．

　三、同步练习

　1 1．直线 l : : x  2 y  m 0 上存在点 M 满足与两点 A (2, 0), B (2,0)连线的斜率之积为 1，

　那么实数 m 的取值围是．[ [2 5, ,2 5] ]

　2 2．(2016 年一模)实数 a ， b ， c 满足 a 2  b 2  c 2 ， c 0 ，那么

　a 2 c

　的取值围

　为． [ [ 

　 3 ,

　3 ] ]

　3 3．  , t  R ，那么(cos   t 2) 2 (sin   t 2) 2 的取值围是．[2 2  1,2 2  1]

　4 4．圆 C ( :( x 3) ) 2  ( ( y 4) ) 2  1 和两点 A ( ( m , ,0) ), , B ( ( m , ,0) )( ( m 0) )．假设圆 C 上存在点 P ，使得 PA  PB  1 ，那么 m 的取值围是．[ 15,

　35]

　7 7．〔2016 年一模〕圆 C :( x 2) 2  y 2 4，线段 EF 在直线 l : y  x 1 上运动，点 P

　为线段 EF 上任意一点，假设圆 C 上存在两点 A 、 B ，使得 PA  PB ≤0，那么线段 EF 长度的最大值是．14 8 8．如图，点 A (－1,0)与点 B (1,0)， C 是圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 上的动点(与点 A , B 不重合)，连接 BC 并延长至 D ，使得| CD |

　 . word.zl-

　1 ＝| BC |，那么线段 PD 的取值围．( 2 ,2)

　9 9．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ( t ，0)( t 0)， B ( t ，0)，点 C 满足 AC  BC 8，

　且点 C 到直线 l ：3 x 4 y 240 的最小距离为9 ，那么实数t 的值是．1

　 10．〔2013 年卷第 17 题改编〕在平面直角坐标系 xOy 中，点 O ( (0, ,0) )， A ( (0, ,3) )如果圆 C ( :( x  a ) ) 2  ( ( y 2 a 4) ) 2  1 上总存在点 M 使得 MA 2 MO ，那么圆心 C 的横坐标 a 的取值围是．[ [0, , 12 ] ] 5

　11．向量 a a 、 b b 、 c c 满足 a a 

　2 ， b b  a a  b b= 3，假设( c c  2 a a )(2 b b 3 c c )  0

　，那么 b b  c c 的最大

　值是． 1  2

　 1 12 2．设点 A , B 是圆 x 2  y 2 4 上的两点，点 C (1,0) ，如果  ACB 90 ，那么线段 AB 长度的取

　值围为．[ 7  1,

　7  1]

　 1 13 3．在  ABC 中， BC ＝2， AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD ( B 为直角顶点， C 、

　D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠ C 变化时，线段 CD 长的最大值为．3

　1 14 4．〔2016 年三模〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C :  x  1  2  y 2 2，

　圆 C :  x  m 2   y  m  2  m 2 ，假设圆C 上存在点 P 满足：过点 P 向圆

　作两条切线